Question

已知兩個不共線的向量

OA

，

OB

的夾角為θ，且|

OA

|=3．若點M在直線OB上，且|

OA

+

OM

|的最小值為

3

2

，則θ的值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用

分析：將|

OA

+

OM

|平方，利用向量模的平方等于向量的平方，列出關于a，θ的函數，通過公式求出對稱軸，求出二次函數的最小值，列出方程，即可所求角．

解答： 解：設|

OM

|=a（a＞0），
∵|

OA

+

OM

|²=

OA

2+

OM

2+2

OA

•

OM

=9+6cosθ•a+a²
對稱軸為a=-3cosθ
所以當a=-3cosθ最小，
由9-18cos²θ+9cos²θ=

9

4

，
解得，cosθ=

3

2

或cosθ=-

3

2

，
即有θ=

π

6

或θ=

5π

6

，
故答案為：

π

6

或

5π

6

．

點評：解決向量模的問題，一般利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的運算法則展開即可．在利用向量的數量積公式時有定注意向量夾角的值．