Question

已知橢圓方程為x²+

y2

8

=1，射線y=2

2

x（x≥0）與橢圓的交點(diǎn)為M，過M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（異于M）．
（1）求證直線AB的斜率為定值；
（2）求△AMB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)k＞0，求得M的坐標(biāo)，則可表示出AM的直線方程和BM的直線方程，分別與橢圓的方程聯(lián)立求得x_A和x_B，進(jìn)而求得AB的斜率．
（2）設(shè)出直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0求得m的范圍，進(jìn)而表示出三角形AMB的面積，利用m的范圍確定面積的最大值．

解答：解：（1）∵斜率k存在，不妨設(shè)k＞0，求出M（

2

2

，2），
直線MA方程為y-2=k（x-

2

2

），直線MB方程為y-2=-k（x-

2

2

）．
分別與橢圓方程聯(lián)立，可解出x_A=

2 k2-4k

k2+8

-

2

2

，x_B=

2 k2+4k

k2+8

-

2

2

．
則y_A=2-k（x-

2

2

），y_B=2+k（x-

2

2

），
k_AB=

yA-yB

xA-xB

=2

2

；
∴k_AB=2

2

（定值）．
（2）設(shè)直線AB方程為y=2

2

x+m，與x²+

y2

8

=1聯(lián)立，消去y得16x²+4

2

mx+（m²-8）=0
由△＞0得-4＜m＜4，且m≠0，點(diǎn)M到AB的距離d=

|m|

3

．
設(shè)△AMB的面積為S．∴S²=

1

4

|AB|²d²=

1

32

m²（16-m²）≤

1

32

•(

16

2

)2=2．
當(dāng)m=±2

2

時，得S_max=

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．