Question

已知函數f(x)=

2a+1

a

-

1

a2x

，常數a＞0．
（1）設m•n＞0，證明：函數f（x）在[m，n]上單調遞增；
（2）設0＜m＜n且f（x）的定義域和值域都是[m，n]，求常數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）運用函數的定義判斷證明函數的單調性的步驟：①取值x₁，x₂∈[m，n]；②作差f（x₁）-f（x₂）變形；③定號；④下結論；
（2）逆向運用函數單調性的定義，我們可以得到：f（m）=m，f（n）=n，轉化為方程的根的問題，利用根的判別式，從而求出參數的范圍．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[m，n]，且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

1

a2

•

x1-x2

x1x2

，
因為x₁＜x₂，x₁，x₂∈[m，n]，所以x₁x₂＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[m，n]上單調遞增．
（2）因為f（x）在[m，n]上單調遞增，
f（x）的定義域、值域都是[m，n]?f（m）=m，f（n）=n，
即m，n是方程

2a+1

a

-

1

a2x

=x的兩個不等的正根?a²x²-（2a²+a）x+1=0有兩個不等的正根．
所以△=（2a²+a）²-4a²＞0，

2a2+a

a2

＞0?a＞

1

2

點評：本題主要考查函數單調性的應用．運用函數的定義判斷證明函數的單調性的步驟：（1）取值；（2）作差變形；（3）定號；（4）下結論．取值時，必須注意定義中的x₁、x₂具有的三個特征；變形時，一定要分解完全，對于抽象函數問題注意合理的利用條件等．