Question

已知點(diǎn)C（1，0），點(diǎn)A、B是⊙O：x²+y²=9上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足

AC

•

BC

=0，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)P的軌跡T的方程；
（2）試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn)：它到直線x=-1的距離恰好等于到點(diǎn)C的距離？若存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由條件求得AC⊥BC以及|CP|=|AP|=|BP|=

1

2

|AB|，再利用垂徑定理得|OP|²+|CP|²=9整理即可求得點(diǎn)P的軌跡T的方程；
（2）條件轉(zhuǎn)化為求軌跡T與一拋物線是否有交點(diǎn)問題，把兩個(gè)方程聯(lián)立求解即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）連接CP，由

AC

•

BC

=0，知AC⊥BC
∴|CP|=|AP|=|BP|=

1

2

|AB|，由垂徑定理知|OP|²+|AP|²=|OA|²即|OP|²+|CP|²=9（4分）設(shè)點(diǎn)P（x，y），
有（x²+y²）+[（x-1）²+y²]=9化簡，得到x²-x+y²=4（8分）
（2）根據(jù)拋物線的定義，到直線x=-1的距離等于到點(diǎn)C（1，0）的距離的點(diǎn)都在拋物線y²=2px上，其中

p

2

=1，
∴p=2，故拋物線方程為y²=4x（10分）由方程組

y2=4x x2-x+y2=4

得x²+3x-4=0，解得x₁=1，x₂=-4（12分）
由于x≥0，故取x=1，此時(shí)y=±2，故滿足條件的點(diǎn)存在的，其坐標(biāo)為（1，-2）和（1，2）（14分）

點(diǎn)評：本題涉及到求軌跡方程問題．在求軌跡方程時(shí)，一般都是利用條件找到一個(gè)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等式，整理即可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．