Question

四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=2CD=2，又PA=PD，∠APD=90°，E、G分別是BC、PE的中點．
（1）求證：AD⊥PE；
（2）求二面角E-AD-G的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AD的中點O，連接OP，OE，由已知中PA=PD，結(jié)合等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，得到OP⊥AD，進而得到OE⊥AD，結(jié)合線面垂直的判定定理，得到AD⊥平面OPE，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到AD⊥PE；
（2）方法一（幾何法）取OE的中點F，連接FG，OG，結(jié)合（1）中結(jié)論，可得∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角，解三角形GOE，即可得到二面角E-AD-G的大小．
方法二（向量法）以O為坐標原點，建立如圖所示坐標系，分別求出平面ADG和平面EAD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角E-AD-G的大小．
解答：證明：（1）如圖，取AD的中點O，連接OP，OE
∵PA=PD，∴OP⊥AD（2分）
又E是BC的中點，∴OE∥AB，∴OE⊥AD．（4分）
又OP∩OE=0，∴AD⊥平面OPE．
而PE?平面OPE，∴AD⊥PE（6分）
（2）
解法一：取OE的中點F，連接FG，OG，
則由（1）易知AD⊥OG，又OE⊥AD，
∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角（9分）
∵，，∴∠GOE=45°
即二面角E-AD-G的大小為45°．（12分）
解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），E（0，1，0）E（8分）
設平面ADG的法向量為D，由C得AB（10分）
又平面EAD的一個法向量為
又因為=（11分）
∴二面角E-AD-G的大小為45°．（12分）
點評：本題考查的知識點是二面觚平面角及求法，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握空間中直線與平面垂直及直線與直線垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，（2）中幾何法的關(guān)系是得到∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角，而向量法的關(guān)鍵是求出兩個半平面的法向量．