Question

已知函數
（1）當時，試討論函數的單調性；
（2）證明：對任意的 ，有.

Answer 1

（1）①時，在（0,1）是增函數，在是減函數；
②時，在（0,1），是增函數，在是減函數；
③時，在是增函數.
（2）見解析.

試題分析：（1）求導數得到，而后根據兩個駐點的大小比較，分以下三種情況討論.
①時，在（0,1）是增函數，在是減函數；
②時，在（0,1），是增函數，在是減函數；
③時，在是增函數.
（2）注意到時，在是增函數
當時，有.從而得到：對任意的，有
通過構造，并放縮得到
利用裂項相消法求和，證得不等式。涉及數列問題，往往通過“放縮、求和”轉化得到求證不等式.
試題解析：（1）      1分
①時，在（0,1）是增函數，在是減函數；        3分
②時，在（0,1），是增函數，在是減函數；      5分
③時，在是增函數.      6分
（2）由（1）知時，在是增函數
當時，.
對任意的，有
                  8分
                  10分
所以
                     12分