Question

【題目】已知橢圓C1和雙曲線C2焦點相同，且離心率互為倒數，F1 ， F2它們的公共焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當∠F1PF2=60°時，則橢圓C1的離心率為（　　）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】設橢圓C1：（a＞b＞0），
雙曲線C2：（m，n＞0），
由題意可得a2﹣b2=m2+n2=c2 ，
e1= ， e2= ， 由e1e2=1，可得am=c2 ，
設PF1=s，PF2=t，由余弦定理可得，
4c2=s2+t2﹣2st=s2+t2﹣st，
由橢圓的定義可得s+t=2a，
由雙曲線的定義可得，s﹣t=2m，
可得s=a+m，t=a﹣m，
即有4c2=（a+m）2+（a﹣m）2﹣（a+m）（a﹣m），
即為4am=a2+3m2 ，
解得a=m（舍去）或a=3m，
c=m，
則e1== ．
故選：D．
設橢圓C1：（a＞b＞0），雙曲線C2：（m，n＞0），由題意可得a2﹣b2=m2+n2=c2 ， 運用橢圓和雙曲線的定義，以及離心率公式，結合條件，化簡整理，可得a=3m，c=m，由離心率公式可得．