Question

（12分）如圖所示，橢圓C： 的離心率，左焦點為右焦點為，短軸兩個端點為．與軸不垂直的直線與橢圓C交于不同的兩點、，記直線、的斜率分別為、，且．

（1）求橢圓 的方程；
（2）求證直線 與軸相交于定點，并求出定點坐標．
（3）當弦 的中點落在內（包括邊界）時，求直線的斜率的取值。

Answer 1

（1）．（2）直線 與軸相交于定點（0，2）；（3）。

試題分析：（1）由題意可知：橢圓C的離心率，

故橢圓C的方程為．…………………………………………………2分
（2）設直線的方程為，M、N坐標分別為
由得
∴…………………………………………………4分
∵．
∴
將韋達定理代入，并整理得，解得．
∴直線 與軸相交于定點（0，2）………………………………………………7分
（3）由（2）中，其判別式，得．①
設弦AB的中點P坐標為，則，
弦 的中點落在內（包括邊界）

將坐標代入，整理得 
解得 ②由①②得所求范圍為……………………………………12分
點評：求橢圓的標準方程是解析幾何的基本問題，涉及直線與橢圓的位置關系問題，常常運用韋達定理，本題屬于中檔題。