Question

（2008•溫州模擬）已知函數y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）要使f（x）在（0，2）上單調遞增，試求a的取值范圍；
（Ⅱ）當a＜0時，若函數滿足y_極大值=1，y_極小值=-3，
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）求函數y=f（x）的圖象上斜率最小的切線方程．
（Ⅲ）求a取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求出導函數，欲使函數f（x）在區間（0，2）上單調遞增可轉化成f′（x）≥0在區間（0，2）上恒成立，再借助二次函數的性質求出參數a的范圍．
（Ⅱ）（1）由（I）得：f′(x)=-3x2+2ax=0，得x1=0，x2=

2

3

a，根據題中最值條件即可求出a值，從而求出函數y=f（x）的解析式；
（2）利用導數的幾何意義切線的斜率為k=f′（x）=-3x²-3取得最大值-3，從而得出函數y=f（x）的圖象上斜率最大的切線方程；
（Ⅲ）據題意 0≤-3x²+3ax≤1在（0，1]上恒成立結合基本不等式即可求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=-3x²+2ax，要使f（x）在（0，2）上單調遞增，
則f'（x）≥0在（0，2）上恒成立  …（2分）
∵f'（x）是開口向下的拋物線∴

f′(0)≥0 f′(2)=-12+4a≥0

∴a≥3…（5分）
（Ⅱ）（1）令f′(x)=-3x2+2ax=0，得x1=0，x2=

2

3

a
∵a＜0，∴y_極大值=f（0）=b=1
∴y極小值=f(

2

3

a)=-

8

27

a3+

4

9

a3+1=-3，
∴a=-3
∴f（x）=-x³-3x+1…（9分）
（2）∵當x=0，k=f′（x）=-3x²-3取得最大值-3，
∴函數y=f（x）的圖象上斜率最大的切線方程為：y-1=-3（x-0），
即y=-3x+1．
（Ⅲ）∵0≤θ≤

π

4

，∴tanθ=-3x²+2ax∈[0，1]
據題意 0≤-3x²+3ax≤1在（0，1]上恒成立   …（10分）
由 -3x2+2ax≥0，得a≥

3

2

x，a≥

3

2

由-3x2+2ax≤1，得a≤

3

2

x+

1

2x

又

3

2

x+

1

2x

≥

3

(當且僅當x=

3

3

時取”=”)，∴a≤

3

…（14分）
綜上，a的取值范圍是

3

2

≤a≤

3

…（15分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、導數的幾何意義、利用導數研究函數的極值、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查歸與轉化思想．屬于基礎題．