Question

設f(x)＝a ln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸．(1)求a的值；(2)求函數f(x)的極值．

Answer 1

（1）a＝－1.
（2）f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3，無極大值．

試題分析：解：(1)因f(x)＝a ln x＋＋x＋1，
故.            (2分)
由于曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f′(1)＝0，從而a－＋＝0，解得a＝－1.   （4分）
(2)由(1)知f(x)＝-ln x＋＋x＋1 (x＞0)，


令f′(x)＝0，解得x₁＝1，x₂＝－ (因x₂＝－不在定義域內，舍去)．（6分）
當x∈(0,1)時，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上為減函數；
當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數．
故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3，無極大值．             (10分)
點評：運用導數的符號判定函數的單調性，求解極值，屬于基礎題。