Question

已知f（x）=ax³-3x+1對于x∈[-1，1]總有f（x）≥0 成立，則a=（ ）
A．a≥2
B．a≤4
C．a≥4
D．a=4

Answer 1

【答案】分析：這類不等式在某個區間上恒成立的問題，可轉化為求函數最值的問題，本題要分三類：①x=0，②x＞0，③x＜0等三種情形，當x=0時，不論a取何值，f（x）≥0都成立；當x＞0時有a≥，可構造函數g（x）=，然后利用導數求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）_max，同理可得x＜0時的a的范圍，從而可得a的值．
解答：解：若x=0，則不論a取何值，f（x）≥0都成立；
當x＞0即x∈（0，1]時，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：a≥
設g（x）=，則g′（x）=，
所以g（x）在區間（0，]上單調遞增，在區間[，1]上單調遞減，
因此g（x）_max=g（ ）=4，從而a≥4；
當x＜0即x∈[-1，0）時，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：a≤，
g（x）=在區間[-1，0）上單調遞增，
因此g（x）_min=g（-1）=4，從而a≤4，綜上a=4．
故選D．
點評：本題考查的是含參數不等式的恒成立問題，考查分類討論，轉化與化歸的思想方法，利用導數和函數的單調性求函數的最大值，最小值等知識與方法．在討論時，容易漏掉x=0的情形，因此分類討論時要特別注意該問題的解答．