Question

已知如圖10-22，斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC＝90°，

BC＝2，AC＝2，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C.

（Ⅰ）求側棱A₁A與底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求側面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大小；

Answer 1

解：如圖10-54，(Ⅰ)作A₁D⊥AC，垂足為D，由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC.

∴∠A₁AD為A₁A與面ABC所成的角.

∵AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C，

∴∠A₁AD＝45°為所求.

 

(Ⅱ)作DE⊥AB，垂足為E，連A₁E，則由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB.

 

∴∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角.

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC又D是AC的中點，BC＝2，AC＝2，

∴DE＝1，AD＝A₁D＝，tg∠A₁ED＝＝.

 

故∠A₁ED＝60°為所求.

 

(Ⅲ)作BF⊥AC，F為垂足，由面A₁ACC₁⊥面ABC，知BF⊥面A₁ACC₁.

∵B₁B∥面A₁ACC₁，

 

∴BF的長是B₁B和面A₁ACC₁的距離.

 

在Rt△ABC中，AB＝＝2，

 

∴BF＝＝為所求.