Question

已知等比數列{a_n}中，a₄-a₂=a₂+a₃=24．記數列{a_n}的前n項和為S_n
（I） 求數列{a_n}的通項公式；
（II）數列{b_n}中，b₁=2，b₂=3，數列{b_n}的前n項和T_n滿足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．求：的值．

Answer 1

解：（I）設等比數列的首項為a₁，公比為q，因為a₄-a₂=a₂+a₃=24．
所以a₁q³-a₁q=a₁q+a₁q²=24，解得q=2或q=-1
若q=-1，則a₁q³-a₁q=0，所以q=-1（舍去），
∴q=2，a₁=4，
數列{a_n}是等比數列，首項為4，公比為2，它的通項公式為：4×2 ^n-1=2ⁿ⁺¹．
（II） 求數列{a_n}的前n項和為：，
數列{b_n}中，b₁=2，b₂=3，數列{b_n}的前n項和T_n滿足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．
所以b_n+1+b_n+2T_n-1=2T_n-1+1+2b_n，所以b_n+1-b_n=1，
所以數列{b_n}是等差數列，首項為1，公差為1，所以b_n=n，
==2•2ⁿ-2+2ⁿ=2ⁿ-2．
分析：（I） 設出等比數列的首項與公比，通過關系式求出首項與公比，即可求數列{a_n}的通項公式；
（II）利用（I）求出前n項和，通過數列{b_n}中，數列{b_n}的前n項和T_n滿足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．推出數列的第n項與第n+1的關系，說明數列是等差數列，求出通項公式，即可求的值．
點評：本題是中檔題，考查數列的遞推關系式的應用，判斷數列是否是等比數列、等差數列，利用通項公式、前n項和求解，考查計算能力．