Question

（2013•惠州模擬）給定圓P：x²+y²=2x及拋物線S：y²=4x，過圓心P作直線l，此直線與上述兩曲線的四個交點，自上而下順次記為A、B、C、D，如果線段AB、BC、CD的長按此順序構成一個等差數列，求直線l的方程．

Answer 1

分析：先確定圓P的標準方程，求出圓心與直徑長，設出l的方程，代入拋物線方程，求出|AD|，利用線段AB、BC、CD的長按此順序構成一個等差數列，可得|AD|=3|BC|，求出k的值，由此可求直線l的方程．

解答：解：圓P的方程為（x-1）²+y²=1，則其直徑長|BC|=2，圓心為P（1，0），
設l的方程為ky=x-1，即x=ky+1，代入拋物線方程得：y²=4ky+4，
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
有

y1+y2=4k y1y2=-4

，…（2分）
則(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(k2+1)．…（4分）
故|AD|2=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(y1-y2)2+(

y 2 1 - y 2 2

4

)2
=(y1-y2)2[1+(

y1+y2

4

)2]=16(k2+1)2，…（7分）
因此|AD|=4（k²+1）．…（8分）
因為線段AB、BC、CD的長按此順序構成一個等差數列，…（10分）
所以|AD|=3|BC|，即4（k²+1）=6
∴k=±

2

2

…（12分）
∴l方程為

2

x-y-

2

=0或

2

x+y-

2

=0．…（14分）

點評：本題考查直線與圓、拋物線的位置關系，考查等差數列，考查學生的計算能力，確定|AD|是關鍵．