Question

【題目】已知函數．

（1）求f（x）的定義域和值域；

（2）判斷f（x）的奇偶性與單調性；

（3）解關于x的不等式f（x2﹣2x+2）+f（﹣5）＜0．

Answer 1

【答案】（1）定義域R,值域為；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）將函數看作方程，解得，再由2x＞0，解得y的范圍，即為所求；（2）函數f（x）的定義域為R，由f（﹣x）＝﹣f（x），推出f（x）是奇函數；利用函數單調性的定義證明函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；（3）利用f（x）為奇函數把不等式轉化為f（x2﹣2x+2）＜f（5），再根據其單調性即可得到不等式的解集．

（1）f（x）的定義域是R，令y=，得2x=﹣．

∵2x＞0，∴﹣＞0，解得﹣1＜y＜1．

∴f（x）的值域為{y|﹣1＜y＜1}；

（2）∵f（﹣x）===﹣f（x），∴f（x）是奇函數．

∵f（x）==1﹣，在R上任取x1，x2，且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）==，

∵x1＜x2，∴，（2x1+1）＞0，

即有f（x1）＜f（x2），則f（x）在R上是增函數．

（3）由（2）得f（x）是奇函數，且f（x）在R上是增函數．

則f（x2﹣2x+2）+f（﹣5）＜0即為f（x2﹣2x+2）＜﹣f（﹣5）=f（5），

得x2﹣2x+2＜5，即有x2﹣2x﹣3＜0，

解得﹣1＜x＜3，則不等式解集為（﹣1，3）．