Question

已知數列滿足：且對任意的有.

(Ⅰ)求數列的通項公式；

（Ⅱ）是否存在等差數列，使得對任意的有成立？證明你的結論

Answer 1

(Ⅰ)

（Ⅱ），即

解析:

(Ⅰ)解：∵

        ∴ 

∴數列是首項為（），公比為2的等比數列，………………4分

， 

，∴數列是首項為1，公差為1的等差數列

，∴…                      …………………7分

（Ⅱ）令代入得：

解得: 

由此可猜想，即 …………………10分

下面用數學歸納法證明：

（1）當n＝1時，等式左邊＝1，右邊＝,

當n＝1時，等式成立，

（2）假設當n＝k時，等式成立，即 

當n＝k＋1時

 

∴當n＝k＋1時，等式成立，

綜上所述，存在等差數列，使得對任意的有成立。              …………………14分