Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，圓C：（x+1）²+y²=16，點F（1，0），E是圓C上的一個動點，EF的垂直平分線PQ與CE交于點B，與EF交于點D．
（1）求點B的軌跡方程；
（2）當D位于y軸的正半軸上時，求直線PQ的方程；
（3）若G是圓上的另一個動點，且滿足FG⊥FE．記線段EG的中點為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知|BF|=|BE|，可得|BC|+|BF|=|BC|+|BE|=|CE|=4，利用橢圓的定義，可求點B的軌跡方程；
（2）當點D位于y軸的正半軸上時，可求E，D的坐標，利用PQ是線段EF的垂直平分線，可得直線PQ的方程；
（3）設點E，G的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則點M的坐標為，利用點E，G均在圓C上，且FG⊥FE，從而可求M點到坐標原點O的距離為定值．
解答：解：（1）由已知|BF|=|BE|，所以|BC|+|BF|=|BC|+|BE|=|CE|=4，
所以點B的軌跡是以C，F為焦點，長軸為4的橢圓，所以B點的軌跡方程為；   …（4分）
（2）當點D位于y軸的正半軸上時，因為D是線段EF的中點，O為線段CF的中點，所以CE∥OD，且CE=2OD，
所以E，D的坐標分別為（-1，4）和（0，2），…（7分）
因為PQ是線段EF的垂直平分線，所以直線PQ的方程為，
即直線PQ的方程為x-2y+4=0．         …（10分）
（3）設點E，G的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則點M的坐標為，
因為點E，G均在圓C上，且FG⊥FE，
所以，，（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，…（13分）
所以，，x₁x₂+y₁y₂=x₁+x₂-1．
所以==，
即M點到坐標原點O的距離為定值，且定值為．…（16分）
點評：本題考查橢圓的定義與標準方程，考查直線的方程，考查兩點間的距離，確定橢圓的方程，表示出兩點間的距離是關鍵．