Question

有以下命題：
①若f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點，則有f（a）f（b）＜0；
②求f（x）=x²的零點時，不能用二分法．
③已知g（x）=f（x）-x，h（x）=f[f（x）]-x，若g（x）的零點為x₁，x₂．則x₁，x₂也是h（x）的零點；
④若x₁是f（x）=2^x+2x-5函數(shù)的零點，x₂是函數(shù)g（x）=2log₂（x-1）+2x-5的零點，則x₁+x₂=

7

2

．
其中正確的命題是

②③④

（寫出所正確命題的序號）

Answer 1

分析：舉出反例f（x）=x²，可判斷①的真假，根據(jù)二分法判斷函數(shù)零點（對應方程的根的適用范圍）可判斷②的真假；根據(jù)零點的定義，根據(jù)g（x）的零點為x₁，x₂．判斷h（x₁），h（x₂）是否為零，可判斷③；根據(jù)零點的定義及指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出x₁+x₂，可判斷④．

解答：解：f（x）=x²在閉區(qū)間[-1，1]上的圖象連續(xù)不斷，且f（x）在區(qū)間（-1，1）上有零點，但f（-1）f（1）＞0，故①錯誤；
由①中，f（x）=x²的零點為0，但不能使用二分法求解，故②正確；
若g（x）的零點為x₁．則f（x₁）=x₁，則h（x₁）=f[f（x₁）]-x₁=f（x₁）-x₁=x₁-x₁=0，即x₁是h（x）的零點，同理x₂也是h（x）的零點，故③正確；
由題意得：2^x₁+2•x₁=5；2^x₂+2log₂（x₂-1）=5，則2^x₁=5-2•x₁，故x₁=log₂（5-2x₁），即2x₁=2log₂（5-2x₁）
令2x₁=7-2t，代入上式得7-2t=2log₂（2t-2）=2+2log₂（t-1），故5-2t=2log₂（t-1）
即t=x₂，即2x₁=7-2x₂，即x₁+x₂=

7

2

，故④正確；
故答案為：②③④

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了命題的真假判斷與應用，正確理解零點的定義及二分法求函數(shù)零點的適用范圍是解答的關鍵．