Question

【題目】已知f（x）是定義在R上且以2為周期的偶函數，當0≤x≤1，f（x）=x2 ． 如果函數g（x）=f（x）﹣（x+m）有兩個零點，則實數m的值為（ ）
A.2k（k∈Z）
B.2k或2k+ （k∈Z）
C.0
D.2k或2k﹣ （k∈Z）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由g（x）=f（x）﹣（x+m）=0得f（x）=（x+m）．設y=f（x），y=x+m． 因為f（x）是定義在R上且周期為2的偶函數，所以當﹣1≤x≤1時，f（x）=x2 ． ①由圖象可知當直線y=x+m經過點O（0，0）時，直線y=x+a與y=f（x）恰有兩個公共點，此時m=0，由于函數f（x）是周期為2的函數，所以當m=2k時（k∈Z），
直線y=x+m與曲線y=f（x）恰有兩個公共點．②由圖象可知直線y=x+m與f（x）=x2相切時，直線y=x+m與曲線y=f（x）也恰有兩個公共點．
f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x= ，所以y= ，即切點為（ ），
代入直線y=x+m得m= ．
由于函數f（x）是周期為2的函數，所以當m= 時（k∈Z），直線y=x+m與曲線y=f（x）恰有兩個公共點．
綜上滿足條件的實數m的值為m=2k或m= 時（k∈Z）．
故選D．

利用函數是周期為2的偶函數，作出函數y=f（x）的圖象，利用直線y=x+m與曲線y=f（x）恰有兩個公共點，利用數形結合的思想求m的值．