Question

已知函數(shù), .

（1）若, 函數(shù) 在其定義域是增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)的最小值；

（3）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點，過線段的中點作軸的垂線分別交、于點、，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)時，的最小值為；當(dāng)時，的最小值為；當(dāng)時，的最小值為；（3）不存在點.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)思想、構(gòu)造函數(shù)思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題；第二問，利用配方法求最值，討論對稱軸與區(qū)間端點的大小，本問突出體現(xiàn)了分類討論思想的運用；第三問，把問題坐標(biāo)化，用反證法證明，利用切線平行，列出方程，構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性求最值，得出矛盾.

試題解析：（1）依題意：在上是增函數(shù)，

對恒成立，        2分

∴

∵,則.

∴的取值范圍為                    4分

（2）設(shè)，則函數(shù)化為

∵

∴當(dāng)，即時，函數(shù)在上為增函數(shù).

當(dāng)時，；                      6分

當(dāng)，即時，當(dāng)時，；

當(dāng)，即時，函數(shù)在上是減函數(shù).

當(dāng)時，                        8分

綜上所述，當(dāng)時，的最小值為.

當(dāng)時，的最小值為.

當(dāng)時，的最小值為.               9分

（3）設(shè)點的坐標(biāo)是且則點的橫坐標(biāo)為

在點處的切線斜率為

在點處的切線斜率為        10分

假設(shè)在點處的切線與在點處的切線平行，則

則                       11分

則

設(shè)，則  ①                12分

令，則

∵，∴，所以在上單調(diào)遞增，

故，則.

這與①矛盾，假設(shè)不成立.故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.                                  14分

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性；2.基本不等式；3.配方法求最值；4.反證法.