Question

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：“①方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根； ②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）滿足0＜f'（x）＜1．”
（I）判斷函數(shù)f(x)=

x

2

+

sinx

4

是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；
（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性質(zhì)：若f（x）的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m，n]⊆D，都存在x₀∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x₀）成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程f（x）-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析：（I）判定函數(shù) f(x)=

x

2

+

sinx

4

是否滿足：“①方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．”
（II）證明只有一個(gè)的問(wèn)題，可利用反正法進(jìn)行證明，假設(shè)方程f（x）-x=0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β（α≠β），然后尋找矛盾，從而肯定結(jié)論．

解答：解：（I）因?yàn)?span id="s00woyw" class="MathJye">f′(x)=

1

2

+

1

4

cosx，
所以f′(x)∈[

1

4

，

3

4

]滿足條件0＜f'（x）＜1，
又因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根0．
所以函數(shù)f(x)=

x

2

+

sinx

4

是集合M中的元素．
（II）證明：假設(shè)方程f（x）-x=0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β（α≠β），
則f（α）-α=0，f（β）-β=0
不妨設(shè)α＜β，根據(jù)題意存在數(shù)c∈（α，β），
使得等式f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立
因?yàn)閒（α）=α，f（β）=β，且α≠β，所以f'（c）=1
與已知0＜f'（x）＜1矛盾，所以方程f（x）-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，方程的解、三角函數(shù)性質(zhì)，等知識(shí)，考查反證法、以及閱讀能力，是一道函數(shù)綜合問(wèn)題．