Question

【題目】已知函數（）.

（1）若，求曲線在處的切線方程；

（2）若對任意， 恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）先根據導數幾何意義得切線斜率為，再根據點斜式寫切線方程（2）先將不等式恒成立轉化為函數最值： ,再利用導數求函數最小值為；根據導函數零點， ，分類討論，確定導函數符號，進而確定單調性，最后由單調性確定最值取法，解對應不等式可得實數的取值范圍.

試題解析：（1）依題意， ， ，故，

又，故所求切線方程為，即；

（2）令，故函數的定義域為， ．

當變化時， ， 的變化情況如下表：

	單調減	單調增	單調減

因為， ，所以時，函數的最小值為；

因為． 因為，令得， ， ．

（ⅰ）當，即時，在上，所以函數在上單調遞增，所以函數．由得， ，所以．

（ⅱ）當，即時, 在上，在上，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，由得， ，所以．

綜上所述， 的取值范圍是.