Question

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙)，設點E、F分別為棱AC、AD的中點．

(1)求證：DC⊥平面ABC；
(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值；
(3)求二面角B－EF－A的余弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）（3）－

(1)∵平面ABD⊥平面BDC，又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BDC，故AB⊥DC，又∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，BC?ABC平面ABC，DC平面ABC，故DC⊥平面ABC.
(2)如圖，以B為坐標原點，BD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如下圖示，設CD＝a，則BD＝AB＝2a，BC＝a，AD＝2a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，C，F(a，0，a)，

∴＝，＝(a，0，a)．
設BF與平面ABC所成的角為θ，由(1)知DC⊥平面ABC，
∴cos＝＝＝，∴sinθ＝.
(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，
∴∠AEB為二面角B－EF－A的平面角.
在△AEB中，AE＝BE＝AC＝a，
∴cos∠AEB＝＝－，即所求二面角B－EF－A的余弦為－.