Question

已知等差數列｛｝的前n項和為Sn，公差d≠0，且S₃=9，a₁，a₃，a₇成等比數列．
（1)求數列｛｝的通項公式；
（2)設＝，求數列｛｝的前n項和.

Answer 1

（1）a_n＝n＋1；（2）.

試題分析：本題主要考查等差數列的通項公式、等比數列的通項公式、等差數列的前n項和公式、等比數列的前n項和公式、等比中項等數學知識，考查學生的分析問題的能力和計算能力.第一問，先利用等比中項寫出，再用等差數列的通項公式將和展開，用等差數列的前n項和將展開，兩式聯立，求出和，再寫出通項公式即可；第二問，將第一問的結果代入，化簡表達式，利用等比數列的定義證明為等比數列，再利用等比數列的前n項和公式計算.
試題解析：(1)，即(a₁＋2d)²＝a₁(a₁＋6d)，化簡得，d＝0(舍去)．
∴，得a₁＝2，d＝1.
∴a_n＝a₁＋(n－1)d＝2＋(n－1)＝n＋1，即a_n＝n＋1.（6分）
(2)∵b_n＝2a_n＝2^n＋1，∴b₁＝4，.
∴{b_n}是以4為首項，2為公比的等比數列，
∴.（12分）