Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a＞0，b＞0）的周期為π，f(

π

4

)=

3

，且f（x）的最大值為2．
（1）寫出f（x）的表達式；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱中心、對稱軸方程；
（3）說明f（x）的圖象如何由函數(shù)y=2sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．

Answer 1

分析：（1）先把函數(shù)化為y=Asin（ωx+∅）的形式，則周期T=

2π

w

，最大值為

a2+b2

，再與所給函數(shù)的周期，最大值比較，就可得到兩個含a，b，ω的等式，根據(jù)f(

π

4

)=

3

再得到一個含a，b，ω的等式，就可求出a，b，ω的值，得到f（x）的表達式．
（2）由（1）中得到的函數(shù)f（x）的解析式，先化簡為y=Asin（ωx+∅），把ωx+∅看成一個整體，就可借助基本正弦函數(shù)的單調(diào)性，對稱軸，對稱中心，求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱中心、對稱軸方程．
（2）利用函數(shù)的平移，伸縮變換，把函數(shù)y=2sinx的圖象向左平移

π

6

個單位，得到函數(shù)y=2sin(x+

π

6

)的圖象，再將y=2sin(x+

π

6

)圖象的橫坐標縮小到原來的

1

2

，即得f(x)=

3

sin2x+cos2x的圖象．

解答：解：（1）f（x）=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin（ωx+∅），其中φ為輔助角，且tanφ=

b

a

，
∴T=

2π

w

=π，∴ω=2
∵f(

π

4

)=

3

，∴asin

π

2

+bcos

π

2

=

3

，即a=

3

∵f（x）的最大值為2，∴

a2+b2

=2，解得，b=1
∴f(x)=

3

sin2x+cos2x
（2）由（1）得，f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
令-

π

2

+2kπ ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
令2x+

π

6

=kπ，k∈Z，解得，x=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z
∴函數(shù)的對稱中心為(

kπ

2

-

π

12

，0)，k∈Z；
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得，x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z
對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z
（3）f(x)=

3

sin2x+cos2x的圖象可先由函數(shù)y=2sinx的圖象向左平移

π

6

個單位，得到函數(shù)y=2sin(x+

π

6

)的圖象，再將y=2sin(x+

π

6

)圖象的橫坐標縮小到原來的

1

2

，即得f(x)=

3

sin2x+cos2x的圖象．

點評：本題主要考查y=Asin（ωx+∅）形式的函數(shù)的單調(diào)性，周期，對稱性的判斷，以及圖象如何由基本正弦函數(shù)圖象經(jīng)過平移，伸縮變換得到．屬于常規(guī)題．