Question

（2010•黃岡模擬）已知O為坐標(biāo)原點，向量

OA

=（sinα，1），

OB

=（cosα，0），

OC

=（-sinα，2），點P是直線AB上的一點，且點B分有向線段

AP

的比為1．
（1）記函數(shù)f（α）=

PB

•

CA

，α∈（-

π

8

，

π

2

），討論函數(shù)f（α）的單調(diào)性，并求其值域；
（2）若O，P，C三點共線，求|

OA

+

OB

|的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中O為坐標(biāo)原點，向量

OA

=（sinα，1），

OB

=（cosα，0），

OC

=（-sinα，2），點P是直線AB上的一點，且點B分有向線段

AP

的比為1，我們代入定比分點坐標(biāo)公式，可以求出點P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)f（α）=

PB

•

CA

，求出函數(shù)的解析式，利用除冪公式，及輔助解公式，將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式后，結(jié)合α∈（-

π

8

，

π

2

）及正弦函數(shù)的性質(zhì)，我們即可求出函數(shù)f（α）的單調(diào)性，并求其值域；
（2）若O，P，C三點共線，我們向量共線的充要條件，求出tanα的值，結(jié)合|

OA

+

OB

|=

(sinα+cosα)2+1

=

sin2α+2

，利用萬能公式，代入即可求出|

OA

+

OB

|的值．

解答：解：依題意知：A（sinα，1），B（cosα，0），C（-sinα，2），
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），
∵點B分有向線段

AP

的比為1
∴cosα=

sinα+x

1+1

，0=

1+y

1+1

，
∴x=2cosα-sinα，y=-1，
∴點P的坐標(biāo)為（2cosα-sinα，-1）（2分）
（1）∵

PB

=（sinα-cosα，1），

CA

=（2sinα，-1）
∴f（α）=

PB

•

CA

=2sin²α-2sinαcosα-1=-（sin2α+cos2α）=-

2

sin（2α+

π

4

），（4分）
由2α+

π

4

∈（0，

5π

4

）可知函數(shù)f（α）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

π

8

，

π

2

），單調(diào)遞減區(qū)間為（-

π

8

，

π

8

），（6分）
 所以sin（2α+

π

4

）∈（-

2

2

，1]，其值域為[-

2

，1）；（8分）
（2）由O，P，C三點共線的-1×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
∴tanα=

4

3

，（10分）
∴sin2α=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

1+tan2α

=

24

25

，
∴|

OA

+

OB

|=

(sinα+cosα)2+1

=

sin2α+2

=

74

5

（12分）

點評：本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的單調(diào)性，兩角和與差的正弦，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三點共線，定比分點坐標(biāo)公式，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出函數(shù)f（α）=

PB

•

CA

的解析式，并化簡為正弦型函數(shù)的形式，將問題轉(zhuǎn)化為確定正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)向量共線的充要條件，求出tanα的值．