Question

下面有關四面體的命題：
①每一個四面體都有唯一的外接球；
②每一個四面體都有唯一的內切球；
③每一個四面體都有唯一的與其六條棱都相切的球；
④任何一個三棱柱都可以分解成三個等體積的四面體；
⑤對任意一個四面體，存在一個頂點，使得從該點出發的三條棱作為邊長可以構成一個三角形．
其中正確命題的序號是

①②④⑤

．

Answer 1

分析：對于①②，四面體一定有外接球和內切球，進行判斷即可；對于③通過舉反例得出“每一個四面體都有唯一的與其六條棱都相切的球”不成立；對于④分離的方法是分離出兩個以棱柱的兩底為底的三棱錐剩下的部分也是一個三棱錐，其底面是一個側面．對于⑤，可利用反證法進行證明．

解答：解：四面體一定有外接球和內切球，故①②都是真命題；
對于③，如圖，若四面體中DA，DB，DC兩兩垂直，有一個球先與此三棱相切，再將此球的半徑慢慢變大，直到與棱AB也相切，此時，該球不能與另兩條側棱AC，BC相切．故③不正確；
對于④：
如右圖直三棱柱ABC-A′B′C′，連接A′B，B'C，CA′．
則截面A′CB與面A′CB′，將直三棱柱分割成三個三棱錐即A′-ABC，A′-BCB′，C-A′B′C′，且它的體積相等．故④正確；
對于⑤，利用反證法證明．
假設任意頂點的3條棱都不構成三角形，
設四面體ABCD最長邊為AB=a，
設其鄰邊BC=b，BD=c，AD=d，AC=e
則由假設與AB的最長性質可知：a≥d+e（過頂點A），a≥b+c（過頂點B）
于是2a≥b+c+d+e，而由AB，BC，AC構成三角形知a＜b+e，
AB，BD，AD構成三角形知a＜c+d
于是2a＜b+c+d+e 矛盾！所以命題成立！故⑤正確．
故答案為：①②④⑤．

點評：本題考查棱錐的結構特征、棱柱的結構特征、棱柱、棱錐、棱臺的體積等基本知識，是基礎題，解題時要認真審題，仔細解答．