Question

已知函數f(x)=x²-(-1)^k·2lnx(k∈N*).

(Ⅰ)討論函數f(x)的單調性；

(Ⅱ)k是偶數時，正項數列{an}滿足a₁=1，f′(a_n)=，求a_n的通項公式；

(Ⅲ)k是奇數，x＞0，n∈N*時，求證：[f′(x)]ⁿ-2^n-1·f′(xⁿ)≥2ⁿ(2ⁿ-2).

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)由已知得x＞0，而f′(x)=2x-(-1)^k·.

當k是奇數時，則f′(x)＞0，則f(x)在(0，+∞)上是增函數；

當k是偶數時，則f′(x)=2x，

所以當x∈(0，1)時，f′(x)＜0；

當x∈(1，+∞)時，f′(x)＞0.

故當k是偶數時，f(x)在(0，1)上是減函數，在(1，+∞)上是增函數.

(Ⅱ)由已知得2a_n，

所以{}是以2為首項，公比為2的等比數列，

故a_n=.

(Ⅲ)由已知得f′(x)=2x+(x＞0)，

所以左邊[f′(x)]ⁿ-2^n-1·f′(xⁿ)=(2x+)ⁿ-2^n-1·(2xⁿ+)

=2ⁿ()

右倒序相加法得：2S=(x^n-2+)+(x^n-4+)+…+(+x^n-2)

≥2()=2(2ⁿ-2)，

所以S≥(2ⁿ-2).

所以[f′(x)]n-2^n-1·f′(xⁿ)≥2ⁿ(2ⁿ-2)成立.