Question

（2012•濟寧一模）已知函數f(x)=

3

sin(x-?)cos(x-?)-cos2(x-?)(0≤?≤

π

2

)為偶函數．
（I）求函數的單調減區間；
（II）把函數的圖象向右平移

π

6

個單位（縱坐標不變），得到函數g（x）的圖象，求方程g(x)+

1

2

=0的解集．

Answer 1

分析：（I）根據倍角公式和兩角差的正弦公式對解析式化簡，再由函數是偶函數求出φ的值，再由余弦函數的單調性和整體思想求出函數的遞減區間；
（Ⅱ）由平移法則求出函數g（x）的解析式，再代入所給的方程進行求解，最后再用集合形式表示出來．

解答：解：（I）f(x)=

3

sin(x-?)cos(x-?)-cos2(x-?)(0≤?≤

π

2

)
=

3

2

sin2(x-φ)-

1+cos2(x-φ)

2

=sin(2x-2φ-

π

6

)-

1

2

，
∵f（x）為偶函數，0≤?≤

π

2

且，∴-2φ-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z，解得φ=

π

6

，
則f（x）=sin(2x-

π

2

)-

1

2

=-cos2x-

1

2

，
由2kπ-π≤2x≤2kπ（k∈Z）得，kπ-

π

2

≤x≤kπ，
故所求的遞減區間是[kπ-

π

2

，kπ]（k∈Z），
（II）函數的圖象向右平移

π

6

個單位，得到函數g（x）的圖象，則g（x）=-cos（2x-

π

3

）-

1

2

，
由方程g(x)+

1

2

=0得，-cos（2x-

π

3

）=0，即cos（2x-

π

3

）=0，解得2x-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），
即x=

5π

12

+

kπ

2

（k∈Z），
所求的解集為{x|x=

5π

12

+

kπ

2

（k∈Z）}．

點評：本題考查了倍角公式和兩角差的正弦公式，余弦函數的性質的應用，以及三角函數圖象的平移問題，掌握余弦函數的基本性質和解析式正確化簡，是解好本題的關鍵．