Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若對任意，都有成立，求實數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）函數的單增區間為，單減區間為（2）的最小值為1

【解析】

(1)求導后列表分析函數單調性即可.

(2)由(1)可知的最小值為,再根據恒成立問題的方法分情況分析的最小值即可.

解：（1）由解得,

則及的情況如下：

		2
	-	0	+
		極小值

所以函數的單增區間為,單減區間為；

（2）法一：

當時,.

當時,.

若,由（1）可知的最小值為,的最大值為,

所以“對任意,有恒成立”

等價于“”,

即,

解得.

所以的最小值為1.

法二：

當時,.

當時,.

且由（1）可知,的最小值為,

若,即時,

令,則任取,

有,

所以對成立,

所以必有成立,所以,即.

而當時,,,,

所以,即滿足要求,

而當時,求出的的值,顯然大于1,

綜上,的最小值為1.