【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是菱形，側面
底面，
，
，
為線段
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）連接
，交
于點
，連接
，利用中位線的性質可得出
，然后利用線面平行的判定定理可證得
平面
；
（2）取
的中點
，連接
、
，證明出
底面
，然后以的中點為坐標原點，
、
、
分別為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
（1）連接，交于點，連接，
由于底面為菱形，
為的中點，
在
中，
為
的中點，
，
又因為
平面，
平面，
平面；
（2）取的中點，連接、，
由題意可得
，
，又側面
底面，即底面.
以的中點為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示
的坐標系，則有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
設平面的法向量為
，得
，令
，則
，
，
則
是平面的一個法向量，
同理設平面的法向量為
，
，得
，令
，則
，
，
則
是平面的一個法向量，
設平面與平面所成銳二面角為
，則
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】階梯水價的原則是“�；�、建機制、促節約”，其中“�；�”是指保證至少80%的居民用戶用水價格不變.為響應國家政策，制訂合理的階梯用水價格，某城市采用簡單隨機抽樣的方法分別從郊區和城區抽取5戶和20戶居民的年人均用水量進行調研，得到數據如下（單位：噸）.
郊區：19 25 28 32 34
城區：18 19 21 22 22 23 23 23 24 25 26 27 28 28 28 29 29 31 35 42
（1）在郊區的這5戶居民中隨機抽取2戶，求其年人均用水量都不超過30噸的概率；
（2）設該城市郊區和城區的居民戶數比為1：5，現將年人均用水量不超過30噸的用戶定義為第一階梯用戶，并保證這一階梯的居民用戶用水價格保持不變，試根據樣本總體的思想，分析此方案是否符合國家“�；�”政策.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】12個朋友每周聚餐一次，每周他們分成三組，每組4人，不同組坐不同的桌子.若要求這些朋友中任意兩個人至少有一次同坐一張桌子，則至少需要周____周.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是自然數1，2，…，
的一個排列，且滿足：對任意
，均有
．
（1）若記
為數
在排列中所處位置的序號（如排列
中，
，
，
，
）．求證：對每一個滿足題意的排列，均有
成立．
（2）試求滿足題意的排列的個數
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】曲線
的參數方程為
（
為參數），
是曲線上的動點，且是線段
的中點，
點的軌跡為曲線
，直線
的極坐標方程為
，直線與曲線交于
兩點.
（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；
（2）寫出過點
的直線的參數方程，并求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，將四棱錐S-ABCD的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種色可供使用，則不同的染色方法種數為（ ）
A.240B.360C.420D.960
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
是正整數，且
.(1）試求出最大的正整數
，使得存在各邊長都是不大于的正整數，且任意兩邊之差(大減�。┒疾恍∮趉的三角形；（2）試求出所有的正整數
，使得（1）中所述的對應于最大的正整數的三角形有且只有一個.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
定義域為
，部分對應值如表，的導函數
的圖象如圖所示. 下列關于函數的結論正確的有（ ）
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A.函數的極大值點有
個
B.函數在上
是減函數
C.若
時，的最大值是，則
的最大值為4
D.當
時，函數
有
個零點
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的左、右焦點分別為
，
，若橢圓經過點
，且
的面積為
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設斜率為
的直線
與以原點為圓心，半徑為
的圓交于
，
兩點，與橢圓交于，
兩點，且
，當
取得最小值時，求直線的方程.
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