Question

一位射擊選手以往1000發子彈的射擊結果統計如下表：

環數	10	9	8	7	6	5
頻數	250	350	200	130	50	20

假設所打環數只取整數，試根據以上統計數據估算：
（1）設該選手一次射擊打出的環數為ξ，求P（ξ≥7.5），Eξ；
（2）他射擊5次至多有三次不小于8環的概率；
（3）在一次比賽中，該選手的發揮超出了按上表統計的平均水平．若已知他在10次射擊中，每一次的環數都不小于6，且其中有6環、8環各1個，2個7環，試確定該選手在這次比賽中至少打出了多少個10環．

Answer 1

解：（1）ξ 的分布列為：

ξ	10	9	8	7	6	5
P	0.25	0.35	0.20	0.13	0.05	0.02

∴P（ξ≥7.5）=P（ξ=8）+P（ξ=9）+P（ξ=10）
=0.20+0.35+0.25=0.8．
∴Eξ=10×0.25+9×0.35+8×0.20+7×0.13+6×0.05+5×0.02
=8.56．
（2）他射擊5次至多有三次不小于8環的對立事件是有4次不小于8環的有5次不小于8環，
∵有4次不小于8環的概率是：P₅（4）=C₅⁴•0.8⁴•0.2=0.4096，
有5次不小于8環的概率是：P₅（5）=C₅⁵（0.8）⁵=0.32768，
故他射擊5次至多有三次不小于8環的概率為：
1-0.4096-0.32768=0.26272．
（3）設這次比賽中該選手打出了m個9環，n個10環，則依此次比賽的結果該選手所打出的環數η的分布列為：

η	10	9	8	7	6
P			0.1	0.2	0.1

Eη=n++2.8，
∵Eη＞Eξ，
∴n+＞5.76，
∵m+n=6，
∴n＞3.6．
故在此次比賽中該選手至少打出了4個10環．
分析：（1）根據題設條件先再由ξ 的分布列，由此能求出P（ξ≥7.5）和Eξ．
（2）由P₅（4）=C₅⁴•0.8⁴•0.2=0.4096，P₅（5）=C₅⁵（0.8）⁵=0.32768，能求出他射擊5次至多有三次不小于8環的概率．
（3）設這次比賽中該選手打出了m個9環，n個10環，則依此次比賽的結果能求出該選手所打出的環數η的分布列，由此能求出該選手在這次比賽中至少打出了多少個10環．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．本題對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．