Question

已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項，等差數列{b_n}中，b₁=2，點P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上；
（Ⅰ）求a₁和a₂的值；
（Ⅱ）求數列{a_n}，{b_n}的通項a_n和b_n；
（Ⅲ）設c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由于a_n是S_n與2的等差中項，可得2a_n=S_n+2，分別令n=1，2即可得出a₁，a₂；
（II）設等比數列{a_n}的公比為q，則q=

a2

a1

=

4

2

=2，利用通項公式an=a1qn-1即可得出；由于點P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上，可得b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2，利用等差數列的通項公式就看得出．
（III）cn=anbn=2n•2n=n•2n+1，利用“錯位相減法”即可得出．

解答：解：（I）∵a_n是S_n與2的等差中項，∴2a_n=S_n+2，
當n=1時，2a₁=a₁+2，解得a₁=2；
當n=2時，2a₂=a₁+a₂+2，∴a₂=2+2=4．
（II）設等比數列{a_n}的公比為q，則q=

a2

a1

=

4

2

=2，
∴an=a1qn-1=2×2^n-1=2ⁿ．
∵點P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上，
∴b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2；
∴b_n=2+（n-1）×2=2n．
（III）cn=anbn=2n•2n=n•2n+1，
∴T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
2T_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=

4(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺²-4-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴Tn=(n-1)•2n+2+4．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的通項公式及前n項和公式、“錯位相減法”等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．