Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁，D為AB的中點，且CD⊥DA₁。

（1）求證：BC₁∥平面DCA₁；
（2）求BC₁與平面ABB₁A₁所成角的大小。

Answer 1

解：（1）如圖，連接AC1與A1C交于點K，連接DK 在△ABC1中，D，K為中點， ∴DK∥BC1 又DK平面DCA1，BC1平面DCA1， ∴BC1∥平面DCA1。
（2）如圖，∵AC=BC，D為AB的中點， ∴CD⊥AB 又CD⊥DA1，AB∩DA1=D， ∴CD⊥平面ABB1A1 取A1B1的中點E，又D為AB的中點， ∴DE，BB1，CC1平行且相等， ∴DCC1E是平行四邊形， ∴C1E，CD平行且相等， 又CD⊥平面ABB1A1， ∴C1E⊥平面ABB1A1， ∴∠EBC1即所求角， 由前面證明知CD⊥平面ABB1A1， ∴CD⊥BB1， 又AB⊥BB1，AB∩CD=D， ∴BB1⊥平面ABC， ∴此三棱柱為直棱柱 設AC=BC=BB1=2， ∴，∠EBC1=30°。