Question

如圖所示的長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，BB₁=

2

，M是線段B₁D₁的中點．
（1）求證：BM∥平面D₁AC；
（2）求三棱錐D₁-AB₁C的體積．

Answer 1

（Ⅰ）連接D₁O，如圖，
∵O、M分別是BD、B₁D₁的中點，BD₁D₁B是矩形，
∴四邊形D₁OBM是平行四邊形，
∴D₁O∥BM．（2分）
∵D₁O?平面D₁AC，BM?平面D₁AC，∴BM∥平面D₁AC．（4分）

（Ⅱ）連接OB₁，∵正方形ABCD的邊長為2，BB1=

2

，
∴B1D1=2

2

，OB₁=2，D₁O=2，
則OB₁²+D₁O²=B₁D₁²，∴OB₁⊥D₁O．（6分）
又∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BD，AC⊥D₁D，且BD∩D₁D=D，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，又D₁O?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥D₁O，又AC∩OB₁=O，（10分）
∴D₁O⊥平面AB₁C，即D₁O為三棱錐D₁-AB₁C的高．（12分）
∵S△AB1C=

1

2

•AC•OB1=

1

2

×2

2

×2=2

2

，D₁O=2
∴VD1-AB1C=

1

3

•S△AB1C•D1O=

1

3

×2

2

×2=

4

3

2

．14（5分）