Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率為，以坐標原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點P(0,1)，Q(0,2)，設M，N是橢圓C上關于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T.求證：點T在橢圓C上．

 

Answer 1

（1）＝1（2）見解析

【解析】(1)由題意知，橢圓C的短半軸長為圓心到切線的距離，即b＝＝.因為離心率e＝＝，所以＝＝.所以a＝2.

所以橢圓C的方程為＝1.

(2)由題意可設點M，N的坐標分別為(x0，y0)，(－x0，y0)，則直線PM的方程為y＝x＋1，①

直線QN的方程為y＝x＋2.②

設點T的坐標為(x，y)，

聯立①②解得x0＝，y0＝.

因為點M，N在橢圓C上，故＝1，

所以2＋)2＝1.

整理得＝(2y－3)2，所以－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＝1.

所以點T的坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．