Question

如圖是邊長為1的正三角形ABC沿垂直于平面ABC的方向平移距離1所得的圖形，M是底面BC邊的中點(diǎn)．
（1）求二面角B₁-AM-B的大小；
（2）證明：直線A₁C∥平面MAB₁；
（3）求直線A₁C到平面MAB₁的距離．

Answer 1

分析：（1）先找出二面角B₁-AM-B的平面角．根據(jù)△ABC是正三角形，M是BC邊的中點(diǎn)，可得AM⊥BC，利用BB₁⊥底面ABC，所以B₁M⊥AM，從而∠B₁MB為二面角B₁-AM-B的平面角，故可求．
（2）證明線面平行的關(guān)鍵是證明直線A₁C平行于平面MB₁A內(nèi)的一條直線．設(shè)O是A₁B與B₁A的交點(diǎn)，證明A₁C∥OM即可；
（3）先證明平面MAB₁⊥平面CB₁，過點(diǎn)C作CE⊥B₁M于E，則CE⊥平面MAB₁，從而線段CE的長即直線A₁C到平面MAB₁的距離，由△CME∽△BMB₁，即可求出直線A₁C到平面MAB₁的距離，

解答：（1）解：依題意  
∵△ABC是正三角形，M是BC邊的中點(diǎn)
∴AM⊥BC，
又BB₁⊥底面ABC，所以B₁M⊥AM
∴∠B₁MB為二面角B₁-AM-B的平面角
在Rt△B₁MB中，BB₁=1，BM=

1

2

∴tan∠B₁MB=

1

1 2

=2，
∴二面角B₁-AM-B的大小等于arctan2．
（2）證明：正三棱柱的側(cè)面是正方形，設(shè)O是A₁B與B₁A的交點(diǎn)，則O是A₁B的中點(diǎn)，
連接OM，
∵M(jìn)是底面BC邊的中點(diǎn)，所以A₁C∥OM，
∵OM?平面MAB₁，A₁C?平面MB₁A
所以直線A₁C∥平面MB₁A
（3）解：∵AM⊥BC，AM⊥BB₁，BC∩BB₁=B
∴AM⊥平面CB₁，
∵AM?平面MA B₁
所以平面MAB₁⊥平面CB₁
過點(diǎn)C作CE⊥B₁M于E，則CE⊥平面MAB₁
∵直線A₁C∥平面MAB₁，
所以線段CE的長即直線A₁C到平面MAB₁的距離，
∵∠B₁BM=∠E，∠B₁MB=∠CME
∴△CME∽△BMB₁，
∴CE=

BB1•CM

B1M

=

1 2

5 2

=

5

5

∴直線A₁C到平面MAB₁的距離

5

5

點(diǎn)評：本題以三棱柱為載體，考查線面平行，考查面面角，考查線面距離，正確運(yùn)用線面平行的判定定理，合理地轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．