Question

設數列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*),則數列{an}的通項公式an=　　　.

 

Answer 1

2n-1

【解析】∵Sn+1=2Sn+n+1,當n≥2時Sn=2Sn-1+n,

兩式相減得:an+1=2an+1,

∴an+1+1=2(an+1),

即=2.

又S2=2S1+1+1,a1=S1=1,

∴a2=3,∴=2,

∴{an+1}是首項為2,公比為2的等比數列,

∴an+1=2n即an=2n-1(n∈N*).

【方法技巧】含Sn,an問題的求解策略

當已知含有Sn+1,Sn之間的等式時,或者含有Sn,an的混合關系的等式時,可以采用降級角標或者升級角標的方法再得出一個等式,兩個等式相減就把問題轉化為數列的通項之間的遞推關系式.