Question

【題目】已知點在同一個球的上,,,.若四面體體積的最大值為,則這個球的表面積為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據幾何體的特征,小圓的圓心為Q,若四面體ABCD的體積的最大值,由于底面積S△ABC不變,高最大時體積最大,可得DQ與面ABC垂直時體積最大,從而求出球的半徑,即可求出球的表面積.

根據題意知,A、B、C三點均在球心O的表面上,

且,,,由余弦定理可得BC,

∴△ABC為直角三角形,

∴△ABC外接圓直徑,即,

且,

的中點即為小圓的圓心設為Q,若四面體ABCD的體積的最大值,由于底面積S△ABC不變,高最大時體積最大,

所以,DQ與面ABC垂直時體積最大,最大值為S△ABC×DQ,

∴,

設球的半徑為R,則

在直角△AQO中,OA2＝AQ2+OQ2,即

∴,

∴球的表面積為,

故答案為：.