Question

（本小題滿分14分）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，P為橢圓與拋物線的一個公共點，且|PF|=2，傾斜角為的直線過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的另一個焦點為，問拋物線上是否存在一點，使得與關于直線對稱，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）拋物線上存在一點，使得與關于直線對稱.

【解析】

試題分析：(1)設P(x,y),因為|PF|=2,根據焦半徑公式可求出x=1,代入拋物線方程可求點P的坐標.

再根據橢圓的定義：,求出a,已知c=1,從而可求出,故可得橢圓的方程.

（2）先求出直線的方程為，即,再求出橢圓的另一個焦點為,可根據點關于直線對稱點的求法求出點F₁關于直線l的對稱點M的坐標，然后代入拋物線方程判定點M是否在拋物線上，從而得到結論.

（1）拋物線的焦點為，………………………1分

設P(x,y)則|PF|=，故x=1，y=…………………3分

  ∴    ，      …………………5分

∴     …………………6分

∴   該橢圓的方程為      …………………7分

（2）∵ 傾斜角為的直線過點，

∴ 直線的方程為，即，…………………8分

由（1）知橢圓的另一個焦點為，設與關于直線對稱，………9分

則得                     …………………10分

解得，即                     …………………11分

又滿足，故點在拋物線上.   …………………13分

所以拋物線上存在一點，使得與關于直線對稱.……………14分

考點：拋物線及橢圓的定義及標準方程，直線的方程，以及點關于直線的對稱.

點評：圓錐曲線的定義是重要的解題工具要引起足夠重視，利用它解題很多時候起到化繁為簡，另辟捷徑的作用.解本小題的第二問要掌握點關于直線的對稱點的求法.