Question

如圖，設(shè)點(diǎn)P從原點(diǎn)沿曲線y=x²向點(diǎn)A（2，4）移動，記直線OP、曲線y=x²及直線x=2所圍成的面積分別記為S₁，S₂，若S₁=S₂，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的定積分的簡單應(yīng)用，先設(shè)直線OP的方程為y=kx，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），利用定積分的幾何意義分別求出面積S₁，S₂，再利用：“S₁=S₂，”列出方程解之即得正確的答案．
解答：解：設(shè)直線OP的方程為y=kx，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
則∫^x（kx-x²）dx=∫_x²（x²-kx）dx，
即（kx²-x³）|^x=（x³-kx²）|_x²，
解得kx²-x³=-2k-（x³-kx²），
解得k=，即直線OP的方程為y=x，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．
點(diǎn)評：解答定積分的計(jì)算題，關(guān)鍵是熟練掌握定積分的相關(guān)性質(zhì)：①∫_a^b1dx=b-a②∫_a^bkf（x）dx=k∫_a^bf（x）dx③∫_a^bf（x）±g（x）dx=∫_a^bf（x）dx±∫_a^bg（x）dx．定積分就是求函數(shù)F（X）在區(qū)間（a，b）中圖線下包圍 的面積．即 y=0 x=a x=b y=F（X）所包圍的面積．