Question

拋物線頂點在原點，它的準線過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點，并與雙曲線實軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個交點為（

3

2

，

6

），求拋物線與雙曲線方程．

Answer 1

分析：首先根據拋物線的準線過雙曲線的焦點，可得p=2c，再利用拋物線與雙曲線同過交點（

3

2

，

6

），求出c、p的值，進而結合雙曲線的性質a²+b²=c²，求解即可．

解答：解：由題設知，拋物線以雙曲線的右焦點為焦點，準線過雙曲線的左焦點，∴p=2c．設拋物線方程為y²=4c•x，
∵拋物線過點（

3

2

，

6

），∴6=4c•

3

2

．
∴c=1，故拋物線方程為y²=4x．
又雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1過點（

3

2

，

6

），
∴

9

4a2

-

6

b2

=1．又a²+b²=c²=1，∴

9

4a2

-

6

1-a2

=1．
∴a²=

1

4

或a²=9（舍）．
∴b²=

3

4

，
故雙曲線方程為：4x²-

4y2

3

=1．

點評：本題考查了拋物線和雙曲線方程的求法：待定系數法，熟練掌握圓錐曲線的性質是解題的關鍵，同時考查了學生的基本運算能力與運算技巧．