Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知

p

=(-1，2)，A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），其中0≤θ≤

π

2

（1）若

AB

⊥

p

，且|

AB

|=

5

|

OA

|，求向量

OB

；
（2）若向量

AC

∥

p

，當k為大于4的某個常數時，tsinθ取最大值4，求此時

OA

與

OC

夾角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由A（8，0），B（n，t），我們可求出

AB

的坐標，然后根據

AB

⊥

p

，及|

AB

|=

5

|

OA

|我們要以構造關于n，t的方程，解方程即可求出滿足條件的向量

OB

；
（2）由A（8，0），C（ksinθ，t），我們可以求出

AC

的坐標，然后根據向量

AC

∥

p

，結合tsinθ的最大值4，我們易求出此時

OA

與

OC

夾角的正切值．

解答：解（1）

AB

=(n-8，t)（2分）

AB

⊥

p

AB

•

p

=-(n-8)+2t=0，n-8=2t（1）
|

AB

|=

5

|

OA

|，（n-8）²+t²=5×64=320（2）
（1）代入（2）得5t²=5×64
∴t=±8當t=8時n=24；
當t=-8時，n=-8
∴

OB

=(24，8)或（-8，-8）（8分）
（2）

AC

=(ksinθ-8，t)

AC

∥

p

（ksinθ-8）•2=-t（10分）
tsinθ=-2(ksinθ-8)sinθ=2(-ksin2θ+8sinθ)=-2k(sinθ-

4

k

)2+

32

k

∵k＞4∴0＜

4

k

＜1
∴sinθ=

4

k

時，(tsinθ)max=

32

k

=4
k=8此時，sinθ=

1

2

θ=

π

6

（13分）
此時

OA

=(8，0)

OC

=(4，8)

OA

•

OC

=|

OA

||

OC

|cosα=8•4

5

cosα=32
故cosα=

1

5

，sinα=

2

5

，tanα=2（16分）

點評：本題考查的知識點是數量積表示兩個向量的夾角，向量的模，數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，平面向量的平行關系，根據兩個向量平行，坐標交叉差為零，兩個向量垂直，坐標對應之積和為零，構造方程是解答本題的關鍵．