Question

【題目】如圖，梯形中，，過分別作，，垂足分別，，已知，將梯形沿同側(cè)折起，得空間幾何體 ，如圖．

1若，證明：平面；

2若，，線段上存在一點(diǎn)，滿足與平面所成角的正弦值為，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） .

【解析】

1由正方形的性質(zhì)推導(dǎo)出，結(jié)合，可得平面，由此，再由，能證明平面；2過作交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，利用向量垂直數(shù)量積為零求出平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式能求出結(jié)果．

1由已知得四邊形ABFE是正方形，且邊長為2，在圖2中，，

由已知得，，平面

又平面BDE，，

又，，平面

2在圖2中，，，，即面DEFC，

在梯形DEFC中，過點(diǎn)D作交CF于點(diǎn)M，連接CE，

由題意得，，由勾股定理可得，則，，

過E作交DC于點(diǎn)G，可知GE，EA，EF兩兩垂直，

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

．

設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為，

由得,取得，

設(shè)，則m，，，得

設(shè)CP與平面ACD所成的角為，

．

所以