Question

在正三棱錐P-ABC中，底面正△ABC的中心為O，D是PA的中點，PO=AB=2，求PB與平面BDC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：由題意，由于圖形中已經出現了垂直于底面的高線，所以可以利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角．

解答：解：以O為坐標原點，OA為x軸，OP為z軸建立空間直角坐標系．因△ABC是正三角形，故y軸平行于BC，而PO=AB=2，則
P（0，0，2），A（

2 3

3

，0，0），
B（-

3

3

，1，0），C（-

3

3

，-1，0），
D是PA的中點，故D（

3

3

，0，1）

BC

=（0，-2，0），

BD

=（

2 3

3

，-1，1）（2分）
設

n

=（x，y，z）是平面BDC的一個法向量，

n

•

BC

=0且

n

•

BD

=0，
即：

2y=0 2 3 3 x-y+z=0

，化簡得：

y=0 z=- 2 3 3 x

（5分）
取x=

3

，則y=0，z=-2，
平面BDC的一個法向量是

.

n0

=（

3

，0，-2），

PB

=（-

3

3

，1，-2）
cos＜

PB

，

n0

＞=

-1+0+4

7 • 1 3 +1+4

=

3 21

28

（9分）
由于

PB

和

n0

所成的角與PB與平面BDC所成角互余，所以PB與平面BDC所成角的正弦值為

3 21

28

．（10分）

點評：本題主要考查了直線與平面之間所成角，考查空間想象能力，本題考點是立體幾何中求線面角，這是立體幾何中常考的一個題型，屬于基礎題．