Question

國際標準游泳池長50m，寬至少21m，深1.80m以上，設8條泳道，每條泳道寬2.50m，分道線由直徑5～10cm的單個浮標連接而成．某位游泳教練員指導甲、乙兩名游泳運動員在這樣國際標準的游泳池內同時進行游泳訓練，甲、乙兩名運動員可以隨機的選擇
不同的泳道進行訓練．
（Ⅰ）求甲、乙兩名運動員選擇的泳道相隔數的分布列和期望；
（Ⅱ）若教練員為避免甲、乙兩人訓練的相互干擾，要求兩人相隔的泳道數不少于2，為了同時計時的方便，又要求兩人相隔的泳道數不能超過4，求甲、乙兩名運動員隨機的選擇不同的泳道訓練恰好符合教練員的要求的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲、乙兩名運動員選擇的泳道相隔數為隨機變量X，X的取值可能為：0、1、2、3、4、5、6；求出對應的率，得出X的分布列，計算出X的期望；
（Ⅱ）兩人相隔泳道數不少于2，且不超過4的概率是P（2）+P（3）+P（4）的值．

解答：解：（Ⅰ）甲、乙兩名運動員選擇的泳道相隔數為隨機變量X，X可能為0，1，2，3，4，5，6
P（X=0）=

7× A 2 2

A 2 8

=

7

28

；
P（X=1）=

6 × A 2 2

A 2 8

=

6

28

；
P（X=2）=

5× A 2 2

A 8 2

=

5

28

；
P（X=3）=

4× A 2 2

A 8 2

=

4

28

；
P（X=4）=

3× A 2 2

A 8 2

=

3

28

；
P（X=5）=

2× A 2 2

A 8 2

=

2

28

；
P（X=6）=

A 2 2

A 8 2

=

1

28

；
它的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5	6
P	7 28	6 28	5 28	4 28	3 28	2 28	1 28

則泳道相隔數X的期望為：
E（X）=0×

7

28

+1×

6

28

+2×

5

28

+3×

4

28

+4×

3

28

+5×

2

28

+6×

1

28

=2
（Ⅱ）兩人相隔泳道數不少于2，且不超過4的概率為：
P（2≤X≤4）=

5

28

+

4

28

+

3

28

=

12

28

=

3

7

．

點評：本題考查了離散型隨機變量的分布列與期望的計算，以及互斥事件的概率加法公式，是基礎題目．