Question

【題目】對于函數f（x）與g（x）和區間D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，則稱x0是函數f（x）與g（x）在區間D上的“友好點”．現給出兩個函數：
①f（x）=x2 ， g（x）=2x﹣2；② ，g（x）=x+2；
③f（x）=e﹣x ， ；④f（x）=lnx，g（x）=x．
則在區間（0，+∞）上存在唯一“友好點”的是 ． （填上所有正確的序號）

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：①f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1，∴要使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，則只有當x0=1時，滿足條件，
∴在區間（0，+∞）上的存在唯一“友好點”，∴①正確．
②g（x）﹣f（x）=x﹣ +2= ，∴不存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，∴函數不存在“友好點”，∴②錯誤．
③設h（x）=f（x）﹣g（x）=e﹣x+ 則函數h（x）在（0，+∞）上單調減，∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0不唯一，
∴③不滿足條件，∴③錯誤．
④h（x）=g（x）﹣f（x）=x﹣lnx，（x＞0），h′（x）=1﹣ ，
令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴x=1時，函數取得極小值，且為最小值，最小值為h（1）=1﹣0=1，
∴g（x）﹣f（x）≥1，
∴當x0=1時，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0唯一，∴④滿足條件．
所以答案是：①④．
【考點精析】關于本題考查的函數的概念及其構成要素，需要了解函數三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定后，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函數才是同一函數才能得出正確答案．