Question

【題目】已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，且與軸垂直，，分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且，且的面積是，其中是坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程.

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線，互相垂直，且分別與橢圓交于點(diǎn)，，，四點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）依題意可設(shè)，則有，解出即可；

（2）分類(lèi)討論，當(dāng)，時(shí)，；

當(dāng)，斜率存在時(shí)，設(shè)：，：，分別聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理求出，，再根據(jù)面積公式以及基本不等式即可求出答案．

解：（1）依題意畫(huà)出下圖可設(shè)，，，

則有：，解得，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）①當(dāng)，時(shí)，；

②當(dāng)，斜率存在時(shí)，設(shè)：，：，分別聯(lián)立橢圓方程，

聯(lián)立得，

∴，，

∴，

同理，

∴，

當(dāng)且僅當(dāng)即即時(shí)等號(hào)成立，

故四邊形的面積的最小值．