Question

(本題13分)

已知f(x)＝lnx＋x²－bx.

(1)若函數f(x)在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；

(2)當b＝－1時，設g(x)＝f(x)－2x²，求證函數g(x)只有一個零點．

 

 

Answer 1

【答案】

解:(1)∵f(x)在(0，＋∞)上遞增，

∴f ′(x)＝＋2x－b≥0，對x∈(0，＋∞)恒成立，

即b≤＋2x對x∈(0，＋∞)恒成立，

∴只需b≤_min　 (x>0)，

∵x>0，∴＋2x≥2，當且僅當x＝時取“＝”，

∴b≤2，

∴b的取值范圍為(－∞，2]．

(2)當b＝－1時，g(x)＝f(x)－2x²＝lnx－x²＋x，其定義域是(0，＋∞)，

∴g′(x)＝－2x＋1

＝－＝－，

令g′(x)＝0，即－＝0，

∵x>0，∴x＝1，

當0<x<1時，g′(x)>0；當x>1時，g′ (x)<0，

∴函數g(x)在區間(0,1)上單調遞增，在區間(1，＋∞)上單調遞減，

∴當x≠1時，g(x)<g(1)，即g(x)<0，當x＝1時，g(x)＝0.

∴函數g(x)只有一個零點．

 

【解析】略