Question

(本小題滿分12分)已知橢圓（）的右焦點為，離心率為.

（Ⅰ）若，求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓相交于，兩點，分別為線段的中點. 若坐標原點在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關系的運用。

（1）中利用已知的橢圓的性質得到a,b，c的關系式，解得橢圓方程。

（2）中聯立直線與橢圓的方程組，借助于韋達定理，和OM垂直于ON，得到關系式，從而得到結論。

解：（Ⅰ）由題意得，得.          ………………2分

結合，，.                    ………………3分

所以，橢圓的方程為.                           ………………4分

（Ⅱ）由 得.

設.

所以，                          ………………6分

依題意，，

易知，四邊形為平行四邊形，

所以，                                         ………………7分

因為，，

所以.   ………………8分

即 ，                            ……………9分

將其整理為 .          ………………10分

因為，所以，.     ………………11分

所以，即.